Binomo에서 옵션 거래

마지막 업데이트: 2022년 7월 11일 | 0개 댓글
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Chapter 4 이항 옵션 가격 결정 모형

저자의 이름을 따서 CRR이라고 부른다. 이전에 Black Scholes 라는 방정식을 어려운 방식을 통해서 유도했었는데, 이 논문의 Contribution은 앞에서 알아본 Binomial Tree를 이용해서, 간단한 수학만 가지고 No Arbitrage Condition을 만족하는 포트폴리오에 극한을 취하면 Black Scholes 방정식으로 유도할 수 있다는 것이다.

3Page의 The Basic Idea를 보자. 여기에 현재 50인 기초 자산이 있는데, 만기에 이 자산의 가격은 25가 될 수도 있고, 100이 될 수도 있다. 이 때 25%의 이자율로 돈을 빌릴 수 있다고 해보자. 이런 상황에서 행사가격이 50인 Call Option의 가치만 정해지지 않았다고 해보자. 이 때 논문에서 제공하는 대로 한 번 해보자.

  1. Call option을 3개 팜
  2. 50짜리 주식을 2개 삼.
  3. 40을 25%의 이자율로 대출받음.

이런 상황에서 No Arbitrage Condition을 만족시키기 위해서는 현재 가치가 이 Portfolio의 가치가 0이 되어야 하므로, 다음의 식이 만족해야 한다.

그러므로 이 때의 Call Option의 가격은 20이 되어야 한다. Table 1을 보면 만기시의 Payoff가 정확히 ‘0’으로 일치하기 때문에 No Arbitrage Condition도 만족한다는 사실을 알 수 있다. 미래의 Binomo에서 옵션 거래 portfolio의 가치가 항상 0이기 때문에 현재 시점의 가치도 0이 된다. (arbitrage가 존재하지 않는다고 가정했을 때) 즉 이걸 만족해야 하기 때문에 Call Option의 가격은 20이 되어야 한다. 그리고 논문에 보면 친절히 왜 Call Option의 가격이 Binomo에서 옵션 거래 20이 아니면 안되는지에 대해서 잘 나와 있다. 이건 학기 초에 예제를 통해서 충분히 설명하였으므로 이 부분은 넘어가도록 하겠다.

이제 4page의 3번을 보자. 이 부분은 앞에서 본 예제를 일반화한 것에 지나지 않는다. 즉, 앞에서는 Call Option의 개수와 몇 개의 주식을 살 건지, 그리고 얼마를 빌릴 건지 다 정한 상태였지만, 여기서는 그게 정해져 있지 않은 상태에서 No Arbitrage Condition을 이용해서 우리가 구해보는 것이다. 이 그림은 이미 익숙할 것으로 생각한다. 여기서 주의해야 할 점은 r이라고 하는 것은 이 논문에서 gross rate, 즉 [1+이자율]이 된다.

Portfolio를 만든다고 해보자. 위의 예제에서 알아본 바와 같이 만기 시에 어떤 State가 발생하던지 해당 Portfolio의 가치를 정확히 Call Option의 가치와 같게 만드는 Portfolio를 만들어 낼 수 있다면, 지금 시점에 Call Option 하나에 대해서 얼마나 받아야 될지 구할 수 있다. 즉, Call Option의 균형 가격을 구할 수 있다.

Stock을 Δ만큼 사고, B만큼의 무위험 채권 포트폴리오를 구성했다고 할 경우 만기시 State 별로 그 포트폴리오의 가치는 아래와 같다.

그런데 이 값이 각 State별 Call Option의 가치와 같아야 한다. 그러므로 다음의 두 식이 성립하게 되고, 이 식을 바탕으로 과 에 대해서 구할 수 있다.

이 상태에서 No Arbitrage Condition을 생각해 본다면, 현재 Call Option의 가격은 현재 Portfolio를 구성하는데 들어가는 비용과 같아야 한다. 그러므로 다음의 식이 성립한다.

이 걸 바탕으로 위에서 구한 과 를 집어넣으면, 논문에서와 Binomo에서 옵션 거래 Binomo에서 옵션 거래 같은 식이 나오게 되는 것이다. 논문에도 등장하고 있지만, 여기서 유의해야 할 성질들은 다음과 같다. 첫 째로, q라고 하는 숫자 자체는 formula에 나타나지 않는다. 투자자가 만기 시점에 각 State가 어떤 확률로 일어날지, 즉 미래에 대해서 어떠한 생각을 가지고 있는지에 관계없이 우리가 를 결정할 수 있다는 것이다.

여기서 를 결정할 때 영향을 주는 요인은 기초자산의 움직임 밖에 없다. 그러므로, Call Option 가치를 계산할 때, 불확정적으로 영향을 주는 것은 기초자산 하나 밖에 없다. 그리고, 앞에서 충분히 설명하긴 했지만 중요하니깐 다시 한 번 살펴보자. q는 실제 어떤 일이 일어날 확률이다. 그런데 p라는 확률은 risk neutral한 사람이 세상을 바라볼 확률과 같아진다. 이것에 대한 이야기는 앞에서 충분히 했으므로 앞의 Appendix들을 참고하길 바란다.

이제 2-step으로 나간 경우이다. 이제는 그림만 보아도 어떻게 해야하는 건지 다 알 수 있을 것이다. 기초자산의 가치가 움직이고, 이 것의 만기시 Payoff가 결정되고 이것을 할인하는 과정을 거치는 것. 그리고 이것이 No arbitrage Condition을 만족해야 하는 것, 이게 우리가 해야할 과정의 전부이다.

이런 과정을 여러번 한다고 생각해보자. 즉, n-step에 대해서 generalize 시키면 다음과 같이 표현할 수 있다. (Call Option의 경우)

여기서 라는 숫자를 설정해보자. 즉, 동전의 앞면이 몇 번 나와야만 max 안에 있는 값이 0보다는 큰 숫자가 나올 것인가? 이를 만족시키기 위해서 최소한 상승해야 하는 횟수가 바로 이다. 이 식을 대해서 놓고 a에 대해서 구하면, 다음의 식이 된다.

따라서 가 이거보다 큰 정수가 되면 max안의 부분을 아래와 같이 바꿀 수 있다. 즉, 이 때 j=(a~n) 까지만 합하면 된다.

이제 논문으로 돌아가면 와 이 나오고 있는데, 이건 곧 binomial 분포에서 확률을 바탕으로 한다는 것이다. 그런데, Binomial Distribution에서 는 이상의 부분을 다 합한 거라고 보면 된다. 즉, 경계값을 바탕으로 오른쪽 부분을 다 합한 거라고 보면 된다.

이제 11page 아래의 식을 보자. 와 가 있는데, 이 값들은 State Price라고 보면 된다. 앞에서 우리가 State Price에 대해서 잘 알아보았으니깐, 무슨 의미인지 잘 알거라 생각한다. 즉, 할인율과 그 State가 일어날 확률을 곱한 것과 같다. 이 것을 식으로 표현한 것이 바로 논문의 다음 식이다.

4장은 예제를 들어서 설명한 것이니깐 앞의 예제들을 이해했다면 충분히 잘 할 수 있을 거라 생각한다.

그런데, 이런 의문이 들 수 있다. 지금 Discrete하게 보아서, 하루가 지나면 S = uS | dS 가 되어 버린다고 보고 있는데, 보통 주가 변동은 이것보다 훨씬 더 많은 값을 가지게 된다. 또한 하루에 한 번 밖에 trading을 못한다고 가정하였는데, 실제로 우리는 거의 매시에 trading 할 수 있다. 만약 매 분마다 거래가 가능하다고 본다면, 9시부터 3시까지니깐 총 6시간이어서 하루 동안에는 총 360 step이 있을 수 있다. 즉, 지금 10만원 하는 주식이 오늘 하루가 지나면 361개의 다른 값을 가지도록 모델링이 가능한 것이다. 보통 소수점 이하 2번째 까지 쓰는데, 더욱 더 잘게 자르면 소수점 이하 3번째 값까지도 가질 수 있다.

그런데 주가 변동을 이렇게 분할로 계산할 경우, 일할 때 쓰는 나 를 그래도 사용하면 너무나 값이 이상하게 커지게 된다. 왜냐하면, 일할 때 쓰는 가 1.1이라고 했을 때, 이 값을 분할로 바꾼 경우에도 그대로 쓴다면 하루가 지난 뒤에 최대로 가질 수 있는 값은 이 아닌 이 되게 된다. 즉, 지금 10만원하는 주식이 하루가 지나면, 3540만원이 될 수도 있다는 것이다. 그러므로, 일할이 아닌 시할, 혹은 분할 계산할 경우 시간 간격에 따라 이를 조정해 줄 필요가 있다.

전체 시간을 개로 자르면 각각의 거리는 가 된다. 이 것을 식으로 표현하면 다음과 같다.

는 한 스텝의 시간이기 때문에 trade가 점점 더 자주 일어나면 일어날수록 0에 가까워질 것이다. 앞에서 보았듯이 나 는 조정해 주어야 한다는데, 모두 동의를 했을 것이다. 그런데 마찬가지 이유로 도 역시 조정해 주어야 한다.

여기서부터 이제 Binomial과 Continuous가 헷갈리기 시작하므로, 이 부분을 읽을 때는 차이점을 잘 숙지하고 읽어야 한다. 첫 번째로 등장하는 Notation이 이다. 단위 시간당 이자율이 이라고 하였으므로, 시간 동안의 이자율을 다음과 같이 표현할 수 있다.

그런데, 이 와는 별개로 이 시간을 스텝으로 나눈다고 생각해보고, 이 때 각 Step별로 적용되는 이자율을 이라고 표현해 보자. 그러면 다음의 식이 성립해야 한다.

을 기준으로 한 것 - 구간별 이자율은

를 기준으로 한 것 - 구간별 이자율은

이 것을 보면 이 에 의존한다는 사실을 알 수 있고, 이 증가하면 이 감소하고, 이 감소하면 이 증가한다.

그리고 를 만기시 기초자산의 가격이라고 생각해 보자. Binomial하에서 를 표현해 보면 다음과 같은 식으로 될 수 있다. 논문에서처럼 , , , , 라고 한다면 다음과 같이 된다.

여기에 log를 취해보면 다음과 같이 표현할 수 있다.

그런데, 이걸 일반화 시키면 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 확률 변수는 이므로, 이 값을 바탕으로 위의 를 취한 것의 기댓값과 분산을 구해보면 다음과 같다. 여기서 Binomial의 기댓값과 분산을 구하는 식을 구하면 다음과 같이 된다.

이 상태에서 을 무한대로 보낸다면, 현실과 비슷하게 만들 수 있다는 생각을 할 수 있다. 이제 위의 식에서 을 무한대로 보냈을 때, 각 값의 limiting 값이 다음으로 수렴하게 만드는 , , 그리고 를 한 번 정해보자.

사실 이런 조건을 만족시키는 , , 그리고 는 여러 종류가 있다. 하지만, 여기서는 논문에 나온 것만 고려하기로 하자.

이제 이 값을 넣어서 을 무한대로 보냈을 때 수렴하는지 체크해보자.

그러므로 증명을 다 했다. 여기서 로 놓고 한 번 시도해 보자.

두 번째 식을 정리하면 다음과 같다.

이제 와 의 계수를 구해보자.

잠시 여정을 떠나기에 앞서 우리의 목적을 다시 한 번 점검해 보자. 이 논문의 목표는 을 무한대로 보냈을 때, Binomial Tree로 Pricing을 한 것이 Black Scholes Equation으로 간다는 것이다.

여기서 사용되는 것은 Central Limit Theorem인데, 즉, Binomial Distribution이 Normal Distribution으로 간다는 것을 보여야 한다. Converge in Distribution 그런데 20page에서 맨 마지막에 한 조건이 성립을 해야 우리가 하려는 이야기를 할 수 있다는 사실을 보여주고 있다. 그 조건이 바로 Unbiased Condition이라고 하는데, 값이 0으로 가야된다는 것을 의미한다.

여기에 위에서 구한 각 값을 넣고 구했을 때, 위의 식이 성립해야 한다.

이 때 이므로, 이 값을 대입하고 구해보자.

그러므로 을 무한대로 보내는 경우 0으로 가게 되어 Initial Condition이 성립하게 된다. 사실 대입을 하지 않아도 의 극한값이 상수이기 때문에 이 분자에 있어서 0으로 감을 쉽게 생각할 수 있다.

이제 measure 하에서의 값들을 measure로 표현해보자. 이건 극한을 취하면 된다. 즉, 다음의 식을 유도하는 것이다.

이 것을 유도한다는 것은 다음이 성립함을 보이면 된다는 것과 똑같은 의미이다.

그런데, 의 경우는 윗부분, 즉 높이 올라갈 경우를 상정해서 고려하고 있지만, 의 경우에는 부터 특정 값까지의 확률을 구하는 것이므로, 총 확률을 합한 값이 1이 된다는 사실에 착안해서 다음의 식을 유도해 보자.

는 Binomial에서 up의 횟수

여기서 아직은 measure 하에서의 세상이므로, support가 정수이고, 작은 범위를 하나를 뺀 것보다 작거나 같은 것으로 고칠 수 있다. 이걸 표준화하면 다음과 같이 고칠 수 있다.

여기서 , , 임을 이용해서 전개를 하면 다음과 같이 된다.

그런데 우리가 관심 있는 범위는 마지막에 기초 자산의 가격이 행사가격보다 큰 범위이다. 이것을 Binomial의 형태로 표현하면 다음의 식과 같다.

이것을 바탕으로 의 범위를 구할 수 있다.

이 값을 만족시키는 최소한의 값을 라고 표현하자. 그런데, 위에서 보다 작다는 표현을 보다 같거나 작다 라는 표현으로 고칠 수 있었으므로, 이것을 무한 번 쪼갠다면 1을 빼는 것이 아니라 아주 조금만 빼도 될 것이다. 이것이 바로 continuous version에 대한 직관적인 이해라고 볼 수 있다. 이 것을 식으로 표현한 것이 바로 다음의 식이다.

이 것을 위의 식에 그대로 대입하면 다음의 식이 나온다.

이제 중심극한정리를 이용하는 핵심적인 부분만 남았다.

이 가 로 수렴하는 것을 보이면 된다. 다른 말로 Discrete Version을 Continuous Version으로 바꾼다는 의미와 동일하다. 이렇게 하기 위해서 각각에 대해서 taylor Expansion을 해보자.

이제 로 치환해 놓고 , , 그리고 를 전개해 보자. 2nd Order까지 Binomo에서 옵션 거래 Binomo에서 옵션 거래 전개 해보자. 여기서 을 전개할 때에는 이 공식을 이용해서 전개한다.

이를 에 대입하고 을 무한대로 보내서 전개해 보자.

성립함을 보였으니, 이제 을 무한대로 보내보자.

정규분포의 대칭성을 이용해서 정리하면.

이제 Version의 경우도 알아보자.

이전과 같이 Taylor 전개를 하되, , 를 2nd Order까지 전개 해보자.

이를 에 대입하고 을 무한대로 보내서 전개해 보자.

성립함을 보였으니, 이제 을 무한대로 보내보자.

정규분포의 대칭성을 이용해서 정리하면.

지금까지 있었던 일들을 쭉 정리해 보자. 일단 Binomial Tree에서 No Arbitrage Condition을 이용해서 One Step Binomial Tree를 이용해서 Call Option의 가격을 구할 수 있다는 사실을 알았다. 그리고 이것은 스텝의 수가 1개인 경우뿐만 아니라 스텝의 수가 인 일반적인 경우로 확장을 시켜도 성립한다는 사실을 알게 되었다. 그리고 이 때 사용되는 확률은 현실에서 일어나는 가 전혀 등장하지 않는 라는 사실을 알게 되었고, 이 가 위험중립확률이라고 불린다는 사실도 알았다. 그리고 우리는 이 스텝인 을 무한대로 보내서 계산한다면 Binomial Distribution이 Normal Distribution으로 바뀌면서 Black Scholes Equation으로 바뀌게 된다는 사실을 알게 되었다. 그리고 , , 그리고 를 각각 Taylor 전개해서 근사화하면 Continuous Version으로 바꿀 수 있다는 사실도 알게 되었다.

Binomo의 골드 및 VIP 계정의 이점

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브로커의 경우 이러한 "조치"에는 브로커 등록을 위한 등록 양식 작성, 이메일 제출 또는 브로커가 주최하는 웨비나 등록이 포함될 수 있습니다.

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Binomo에서 CFD 거래 방법

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CFD는 차액 계약을 의미합니다. 거래자가 자산의 구매 가격과 판매 가격의 차이에 대해 추가 이익을 얻는 메커니즘입니다.

목표는 자산 가격이 상승할지 하락할지 예측하는 것입니다. 예측이 정확하면 거래자는 시작 가격과 종료 가격의 차이에 따라 결정되는 추가 이익을 얻게 됩니다.

참고 . CFD 역학은 데모 계정에서만 사용할 수 있습니다.

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메모 . 거래는 개설일로부터 15일 후에 자동으로 닫힙니다.

CFD 거래의 손익을 계산하는 방법은 무엇입니까?

다음 공식으로 가능한 손익을 계산할 수 있습니다.

투자 x 승수 x (종가/시가 - 1).

. 한 거래자가 10의 승수로 $100를 투자했습니다. 거래자가 거래를 열었을 때 자산의 가격은 1.2000이었고 닫았을 때 1.5000으로 상승했습니다. 그 거래에서 이익을 계산하는 방법? $100(거래자의 투자) x 10(승수) x (1.5000(종가) / 1.2000(시가) - 1) = $100 x 10 x (1,25 - 1) = $250은 거래의 이익입니다. 종가가 시가보다 높아 거래가 성사됐다.

거래당 최대 손실은 최대 95%에 이릅니다. 계산 방법은 다음과 같습니다.

. 한 상인이 500달러를 투자했습니다. 거래 결과는 공식 5% x $500 = $25에 따라 계산됩니다. 이런 식으로 거래가 자동으로 종료되기 전에 거래자가 가질 수 있는 최대 손실은 95% 또는 $475입니다.

자산 가격의 최대 변동률(자동 마감 전)은 다음 공식으로 계산됩니다.

. 95% / 승수 10 = 9,5%는 자산 가격의 최대 변동률입니다.


자주 묻는 질문(FAQ)


CFD에서 15일 후에 거래가 마감되는 이유는 Binomo에서 옵션 거래 무엇입니까?

CFD 거래는 데모 계정에서만 사용할 수 있기 때문에 15일이 메커니즘과 전략을 연구하는 최적의 시간이라고 결정했습니다.

장기간 거래를 유지하고 싶다면 자동 청산을 고려하여 이익을 고정할 수 있습니다. 거래가 종료되면 동일한 볼륨으로 새로운 거래를 열 Binomo에서 옵션 거래 수 있습니다.


CFD의 데모 계정에서만 거래할 수 있는 이유는 무엇입니까?

CFD는 현재 개발자가 개선하고 있는 플랫폼의 새로운 메커니즘입니다. 거래자가 가상 ​​펀드를 사용하여 메커니즘에 익숙해지고 CFD 전략을 테스트할 수 있도록 데모 계정에서 CFD를 거래할 수 있는 가능성을 활성화했습니다.

뉴스를 팔로우하고 실제 계정에서 이 메커니즘을 사용할 수 있게 되면 알려드리겠습니다.


승수 란 무엇입니까?

승수는 초기 투자에 곱해지는 계수입니다. 이렇게 하면 투자하는 것보다 훨씬 더 많은 금액으로 거래하고 더 큰 이익을 얻을 수 있습니다.

. 초기 투자가 100달러이고 승수 10을 사용하면 1000달러로 거래하고 100달러가 아닌 1000달러의 투자에서 추가 이익을 얻게 됩니다.

승수 1, 2, 3, 5, 10은 플랫폼에서 사용할 수 있습니다.


수수료가 CFD에 부과되는 이유는 무엇이며 어떻게 계산됩니까?

CFD 거래는 귀하의 데모 계정 에서 인출되는 수수료를 의미 합니다. 실제 계정 거래를 모방하기 위해 이 수수료를 추가했습니다. 이를 통해 거래자는 자금 관리 원칙을 연습할 수 있으며 이는 이 메커니즘과 거래할 때 매우 중요합니다.

이 수수료는 어떻게 계산됩니까?

당신이 CFD 무역을 열 때의 0.02 %의 고정 수수료 교역 규모는 데모 계좌에서 인출됩니다.
이 공식은 거래량을 계산합니다 :


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